ラグランジュの未定乗数法についてよくわからないまま使っている

{おことわり}冒頭で説明するラグランジュの未定乗数法の概要は、学部2年時点でまともに説明を聞いていない文系が授業での扱いをもとになんとな～くで説明しているものです。数学的・経済学的正確さはたいへん犠牲になっています。「その技法をまともに理解する機会がないまま使っていてモヤモヤする」という趣旨の記事ですので、ご容赦ください。

　おはようございます。もうすぐ冬至なので日の短さを日々楽しんでいます。たねろうです。

　学部の授業で最近よく聞く単語に「ラグランジュの未定乗数法」があります。これは予算の制約がある状況で効用を最大化する問題を解くときに出てくる技法らしく、以下のような数式で表される問題を解くことができます。

この方程式に対して、制約条件の部分にλをかけて最大化する式に足し、

その関数に対して偏微分を変数分だけして=0にした方程式を解けば解が出るというわけです。

　…という理解をしているのですが、実はこの技法に関して、僕は学部2年生時点で正式に習ってはいません。価格理論の授業などで「こうやると楽に計算できるから、こうやっといて」と言われるのみです。なぜこの方法で問題が解ける理由はもちろん知りませんし、+λと-λの違いはあるのかなど定式化の方法についてもよく知りません。授業によっては制約条件がもっと複雑な条件であるときもあるのですが、その時はなんとなくわちゃわちゃっと教授が式を立ててしまうのでよくわからずじまいです。

　基本的にうちの学部の学生がとる数学の授業は簡単な微積(sin,cos,e^xの微積など)と線形代数(連立方程式の解の存在条件くらいまで)しかないので、確かに多変数関数の理論については何とも微妙な立ち位置になってしまうのですよね。一部の人向けに多変数関数の理論の授業はあったのですが、ラグランジュ乗数法の理論にたどり着く前に終わってしまいましたし、文系にはなんか怖くてとりにくい授業でした。実際とってみるとそんなに辛い講義ではなかったですが…

　しかし、一応数学好きな僕としては全然自明じゃない方法をそれとして使い続けるのはちょっともやっとするところがあります。というか、この技法を初めて知った時「なんでこれで求まるんだよ」という不安すらありました。

　確かに学部の教程を考えると多変数関数の理論をラグランジュ未定乗数法に到達するくらいまで文系の学生に教えるというのもかなり大変な話なので、その辺に関しては「大学院とかに行く人は勉強してネ」というくらいにとどめるしかないんでしょうね。

　普通になんでこれで解けるのか、こんなエレガントな方法を導き出せる理論はどんなものなのかという興味自体もあるので、どっかのタイミングで勉強してみたいなー、と思っています。

　というわけで、今日も僕は宿題の効用最大化問題をカリカリとラグランジュの未定乗数法の式をなんとなくで立てるのでした…。早く納得して使えるようになりたい。